Тип уроку. Формування знань, умінь і навичок.
Обладнання: презентація, таблиця, картки
План уроку
І . Організаційний момент
ІІ Актуалізація опорних знань.
1.Фронтальне опитування
ІІІ. Поетапне вивчення нового матеріалу.
Геометричний зміст інтеграла
Задача 1 (про площу криволінійної трапеції)
У декартовій прямокутній системі координат розглянемо фігуру, обмежену графіком функції y=f(x) , прямими х = а, х = b та віссю Ох, причому а<b і функція неперервна і невід'ємна на відрізку [а; b]. Ця фігура називається криволінійною трапецією (див. рисунок). Знайдемо її площу S.
1) Знайдемо площу трапеції, розбивши фігуру на п рівних частин за допомогою прямих х= х1, х= х2,..., х= хп-1 Тоді отримаємо п вузеньких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.
2) Розглянемо окремо к-й стовпчик, тобто криволінійну трапецію, основою якої служить відрізок [x
;x
] .
;x] .
3) Замінимо стовпчик прямокутником з тією самою основою й висотою, яка дорівнює f(хk). Площа прямокутника дорівнює f(x) · xк+ 1 -- хк
Якщо те ж саме зробимо з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до такого результату: площа S заданої криволінійної трапеції наближено дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з п прямокутників (див. рисунок). причому ця наближена рівність тим точніша, чим більше n.
Прийнято вважати, що шукана площа криволінійної трапеції дорівнює границі послідовності (Sn ): S= lim Sn
x→∞
Приклад. Обчисліть площу трапеції, обмеженої лініями у = х ; y = 0 ; x=2 ; х = 4 .
Розв'язання
Нехай зображена на рисунку трапеція АВСО — дана трапеція, тоді
АВ + СВ.АD = (2+4)∙2 = 6.
2 2
Можна так само, як і в задачі 1, розбити відрізок АD) на п рівних частин (наприклад на 8) і побудувати східчасту фігуру із прямокутників.
Фронтальне опитування
Фізичний зміст інтеграла
Задача (на знаходження шляху, пройденого тілом)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості часу виражається формулою v = v(t) . Знайдіть переміщення тoчки за проміжок часу [а; Ь]. Розв'язання
За умови рівномірного руху задача розв'язується дуже просто: s=vt,
тобто s = v(b-а).
Для нерівномірного руху доводиться вкористовувати ті самі методи, на яких базувалися розв'язання попередніх задач.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на п рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу [tk t k+1] і будемо вважати, що на цьому проміжку часу швидкість була постійною, такою ж, як і момент часу tк: v = (tк).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжокок часу [tk t k+1]] (позначимойого sк): sк=v(tк)-∆tк.
4) Знайдемо наближене значення переміщення s: s = Sn
5) Точне значення переміщення обчислюється за формулою s= Ііm Sn
n→∞
Підбиваючи підсумки розглянутого, робимо висновок, що три різні задачі привели під час розв'язування до однієї тієї самої математичної моделі. Багато задач із різних галузей науки і техніки розв'язуються саме за її допомогою.
Поняття визначеного інтеграла.
Отже, при розв'язуванні цих задач використовувалась модель, яку можна описати математично: вона побудована для функції у = f(х) , неперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалось у розглянутих задачах) на відрізку [а;b]:
- Відрізок [а;b] розбивають на п рівних частин.
- Складають суму
Sn =f(х0)∆х0 + f{х1)∆х1+ ...+f(хк)∆хк + ...+f{хп-1)∆хп-1.
3) Обчислюють 1іm Sn .
У курсі математичного аналізу доведено, що ця границя існує і її називають визначеним інтегралом від функції у =f(х) на відрізку [а;b] і позначають так:
Числа а і b називаються границями (межами) інтегрування (а — нижня, b — верхня межа).
Повернемося до результатів розглянутих задач.
Задача 1 показує геометричний зміст інтеграла,
Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює
Задача 2 демонструє фізичний зміст інтеграла.
У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення Слово «інтеграл» походить від латин, слова іпtеgеr — цілий
(згадайте: інтеграція — відновлення, поповнення, возз'єднання)
1. Фронтальна робота
1. Зобразіть фігуру, площа якої задана інтегралом:
Немає коментарів:
Дописати коментар