Підготовка до ІІ етапу олімпіади з математики

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики

8 клас
1. Рівняння з модулями , наприклад |x+3|+2|x-1|=4-знайти найменше х, яке задовольняє умову

2. Довести, що m^5n-mn^5   ділиться на 6 при будь яких натуральних значеннях m,n і m>n

3.Усі точки площини пофарбовано в 4 кольори, причому кожен колір використовується. Чи обов’язково знайдеться пряма, що містить точки принаймні трьох різних кольорів?

4. Що більше 12723 чи 51318?

5. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

6. У ▲АВС бісектриса АЕ = EC. Знайдіть кути ▲АВС, якщо АС = 2АВ.

7. Скільки води необхідно долити до 25 г 90% розчину кислоти, щоб одержати розчин 75 % кислоти?

9 клас

1. На протилежних берегах річки одна проти одної ростуть дві пальми. Висота однієї з них 10м, а іншої – 15м, відстань між основами пальм дорівнює 25м. На верхівці кожної пальми сидить птах. Раптово обидва птахи помічають рибу, яка виплила на поверхню річки між пальмами. Птахи кинулись до риби і досягли її одночасно. На якій відстані від основи більшої пальми виплила риба?

2.У прямокутному трикутнику медіана дорівнює m і ділить прямий кут у відношенні 1 : 2. Знайти площу трикутника.

3. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.