Піфагор Самоський

Піфагор Самоський ( близько 580-500 рр. до н.е.)
     Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник ел­лінської культури — філософ і мате­матик Піфагор.

Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося. Відомості про нього знаходимо лише в окремих висловлюваннях, спогадах і комен­тарях до наукових праць авторів пізнішого часу.

За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н. є. на о. Самос біля іонійського узбережжя Се­редземного моря, в багатій купець­кій сім'ї. Перші наукові знання він  здобув від ученого Ферекіда з м.Сіроса.  

Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту — цент­ру тодішньої наукової і дослідниць­кої діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природни­чих і математичних наук.

Повернув­шись на о. Самос, Піфагор плану­вав створити філософську школу. Але з невідомих причин він незаба­ром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльно­сті. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристо­кратів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питан­ня філософії і математики. Піфа­горійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших міс­тах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових чле­нів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати ні­чого  про її  засновника   Піфагора, якого вважали пророком. Члени пі­фагорійської школи мали спеціаль­ним знак - пентаграму (правильний п'ятикутник), за яким вони впізна­вали один одного.

Історичні умови того часу (кінець VI—початок V ст. до н. є.) характе­ризуються широким рухом народу (демосу) проти влади аристократів.

Хвилі народного гніву докотилися і до Кротона. Рятуючись від нього, Піфагор разом із своїми учнями пе­реїхав до сусіднього міста Тарента. Але й тут народ рішуче засудив ре­акційну роль таємної організації пі­фагорійців. У Метапонті, куди Піфа­гор утік з Тарента, в одній з нічних вуличних сутичок обірвалося життя 80-річного вченого. Його учні зму­шені були розійтися по всій Греції.

Щоб зрозуміти роль піфагорій­ської школи в розвитку математич­ної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містич­ного значення. Вони гадали, що ре­чі — це відображення чисел, чис­ло — це закон і зв'язок світу, це си­ла, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу чис­ла можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських занят­тях — мистецтві,   ремеслах,   музиці.

Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжи­ни. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то звукова   гармонія   порушується.

Велику увагу піфагорійці приді­ляли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Можна припустити, що найпрості­ший з таких трикутників, так зва­ний єгипетський трикутник з сторо­нами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Піфагор вивів правило знаходження величини сторін таких трикутників. Тепер це правило ми сформулюва­ли б так: нехай а — будь-яке непар­не число. Вважатимемо це число довжиною одного з катетів прямо­кутного трикутника. Віднявши від його квадрата одиницю і поділивши на два, дістанемо величину більшо­го катета; до величини більшого ка­тета додамо одиницю і дістанемо гіпотенузу. Оскільки а ціле непарне число, то довжини другого катета і гіпотенузи також цілі числа. Одним із способів побудови такого трикутника був поділ правильного трикутника пополам.

Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа ім'ям Піфагора, хоч вона була відо­ма задовго до нього вавілонянам. За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.

Можливо, що вивчення властивос­тей прямокутних трикутників приве­ло піфагорійців до відкриття несу­мірності відрізків. Але це відкриття суперечило філософській теорії про «гармонію світу». Виявилося, що числом не можна виміряти довжину прямолінійного відрізка — діагоналі квадрата,   сторона  якого  дорівнює одиниці.

Збереглась легенда, що один з пі­фагорійців, Гіпас, розголосив таєм­ницю про ірраціональне число. По­караний богами за зраду, він заги­нув у морі під час бурі.

Піфагорійці знали, що сума внут­рішніх кутів трикутника дорівнює 2d, що навколо однієї точки на пло­щині можна розмістити 4 квадрати, 6 правильних трикутників, 3 пра­вильні шестикутники. Вони вміли будувати правильний п'ятикутник, але цей спосіб побудови до нас не дійшов.

Евклід у своїх творах приводить цікавий спосіб побудови такого п'ятикутника, в якому не застосову­ється поділ радіуса описаного кола в кратному і середньому відношен­ні. Він спочатку будує вписаний рівнобедрений трикутник, у якому кути при основі вдвоє більші від кута при вершині. Кути при основі мають по 72°, а при вершині — 36°. Якщо провести бісектриси кутів при основі, то коло поділиться на 5 рів­них частин.  (Це окрема задача).

Можливо, що піфагорійцям цей спосіб побудови правильного впи­саного п'ятикутника був відомий.

Побудови правильних плоских фі­гур, зокрема п'ятикутника, а отже, і десятикутника, безпосередньо підвели піфагорійців до побудови пра­вильних многогранників. За свідчен­нями деяких істориків Піфагор і йо­го учні вміли будувати всі п'ять видів правильних многогранників і, зокрема, такі складні міюгогранники, як додекаедр або Ікосаедр. Це було на той час  значним досяг­ненням. Деякі  історики пізнішого часу свідчили, що піфагорійцям було ві­доме поняття ізопериметрії. Най­простіша ізопериметрична задача —це знаходження серед усіх кривих даного периметра тієї кривої, яка обмежує фігуру найбільшої площі. Піфагорійці знали розв'язок цієї за­дачі: кривою є коло. Просторовим аналогом ізопериметричної задачі є задача про відшукання замкненої поверхні заданої площі, яка обме­жує тіло найбільшого об'єму. Шука­ною поверхнею є сфера. При ньому, на догоду своїм релігійним уявлен­ням про світ, вони стверджували, що куля є найблагородніша просто­рова фігура, а круг — найдосконалі­ша плоска фігура.

В оцінці діяльності піфагорійців думки вчених розходяться, бо ні­яких письмових документів їхньої школи не залишилось. Проте з впе­вненістю можна вважати, що Піфа­гор та його учні своїми досліджен­нями внесли вагомий вклад у роз­виток еллінської культури.