Евклідова геометрія

Евклід

Історія не зберегла для нас досто­вірних відомостей про життя цього видатного вченого. Вважають, що Евклід народився в Афінах близько 325 р. до н. є. і на запрошення царя Птолемея  І  на  початку III  ст. до н. е. прибув до Александрії.

ДОСЯГНЕННЯ В МАТЕМАТИЦІ

Працюючи в бібліотеці Музейону над упорядкуванням   математичній манускриптів, Евклід створив слав­нозвісну працю з математики, яку назвав «Начала».

«Начала» Евкліда складаються з 13 «книг»-сувоїв. Перші шість книг присвячені планіметрії, VII—X кни­ги — арифметиці і несумірним вели­чинам, які можна побудувати за до­помогою циркуля і лінійки, XI— XIII — стереометрії.

Під розв'язанням задач Евклід розумів побудову за допомогою цир­куля та лінійки. Зокрема, для Ев­кліда знайти площу або об'єм озна­чало побудувати циркулем і ліній­кою квадрат чи куб потрібної площі або об'єму.

В " Началах " Евклід підсумував всі попередні досягнення грецької математики і створив фундамент для її подальшого розвитку. Історичне значення " Начал " Евкліда полягає в тому , що в них вперше зроблено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики . Основним недоліком аксіоматики Евкліда слід вважати її неповноту , нема аксіом неперервності , руху та порядку , тому Евкліду часто доводилося апелювати до інтуїції , довіряти оку. Книги XIV і XV є більш пізніми, але чи є перші тринадцять книг створенням однієї людини або школи , керованої Евклідом , не відомо. З 1482р . " Начала" Евкліда витримали більше 500 вид. на всіх мовах світу.

" НАЧАЛА ЕВКЛІДА"

Перші чотири книги " Начал " присвячені геометрії на площині, і в них вивчаються основні властивості прямолінійних фігур і кіл .

У книзі I подані визначення понять , що використовуються в подальшому. Вони носять інтуїтивний характер , оскільки визначені в термінах фізичної реальності: "Точка є те, що не має частин " . "Лінія ж - довжина без ширини" . "Пряма лінія є та , яка одно розташована по відношенню точкам на ній " . "Площина є те , що має тільки довжину і ширину " і т.д.

За цими визначеннями йдуть п'ять постулатів : " Припустимо:

1 ) що від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію ;

2 ) і що обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій ;

3 ) і що з усякого центру і всяким розхилом може бути описаний круг;

4 ) і що всі прямі кути рівні між собою ;

5 ) і якщо пряма , що падає на дві прямі , утворює внутрішні і по одну сторону кути , менше двох прямих , то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони , де кути менше двох прямих . "

Чотири перших постулати забезпечують існування прямої та кола . П'ятий , так званий постулат про паралельні - найзнаменитіший . Він завжди інтригував математиків , які намагалися вивести його з чотирьох попередніх або взагалі відкинути , до тих пір , коли в XIX в . виявилося, що можна побудувати інші , неевклідова геометрія і що п'ятий постулат має право на існування. Потім Евклід сформулював аксіоми , які на противагу постулатам , справедливими тільки для геометрії , застосовні взагалі до всіх наук . Далі Евклід доводить у книзі I елементарні властивості трикутників , серед яких - умови рівності. Потім описуються деякі геометричні побудови , такі , як побудова бісектриси кута , середини відрізка і перпендикуляра до прямої . У книгу I включені також теорія паралельних і обчислення площ деяких плоских фігур ( трикутників , паралелограмів і квадратів ) . У книзі II закладені основи так званої геометричної алгебри , висхідній до школи Піфагора. Усі величини в ній представлені геометрично , і операції над числами виконуються геометрично . Числа замінені відрізками прямої . Книга III цілком присвячена геометрії , а в книзі IV вивчаються правильні багатокутники , вписані у коло , а також описані навколо нього.

Теорія пропорцій , розроблена в книзі V , Евклід включав в поняття " величини" довжини , площі , об’єму , маси , кути , тимчасові інтервали і т. д.

У книзі VI теорія пропорцій книги V застосовується до прямолінійних фігур , до геометрії на площині і, зокрема , до подібних фігур , причому "подібні прямолінійні фігури ті, які мають кути , рівні по порядку , і сторони при рівних кутах пропорційні " . Книги VII , VIII і IX складають трактат з теорії чисел; теорія пропорцій в них додається до чисел . У книзі VII визначається рівність відносин цілих чисел, або , з сучасної точки зору , будується теорія раціональних чиселх

Книга X  містить класифікацію квадратичних ірраціональних величин , які там представлені геометрично прямими і прямокутниками . Ось як сформульовано пропозицію 1 в книзі X " Начал " Евкліда : Якщо a і b – додатні натуральні числа і a > b , то завжди існує таке натуральне число m , що mb > a . Евклід довів справедливість геометричних перетворень.

Книга XI- XIII присвячена стереометрії .

Предметом книги XIII є побудова правильних багатогранників . Побудова Платонових тіл, яким , мабуть завершуються " Начала" , дало підставу зарахувати Евкліда до послідовників філософії Платона .